Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то

прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

3. Для наклонной прямой, не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости.

Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:

1) на АВ выбирается произвольная точка Е;

2) строится прямая t таким образом, что t " Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ

(рис. 7.10), т.е. t ^ Σ.

Плоскость (АВ,t) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.

Задача. Дана плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11).

Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.

Алгоритм проекционного решения задачи:

1) строятся линии уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2) в плоскости Σ, при этом h 2 // х, f 1 // х;

2) строятся проекции t 1 и t 2 прямой t таким образом, что t 2 " E 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 , где Е Î АВ – произвольная точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.

Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где

AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).

Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи.

Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):

1) из данной точки Е опускается перпендикуляр а на плоскость Σ;

2) из точки Е опускает перпендикуляр b на плоскость Δ.

Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).

1. В плоскости Σ построим линии уровня h 1 (h 1 1 , h 1 2) и f 1 (f 1 1 , f 1 2) . При этом

h 1 2 // x; f 1 1 // x.

2. В плоскости Δ построим линии уровня h 2 (h 2 1 , h 2 2) и f 2 (f 2 1 , f 2 2) . При этом

h 2 2 // х; f 2 1 //х.

3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом

а 2 ^ f 1 2 , а 1 ^h 1 1 ; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .

Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны () (рис.28)

α – плоскость, в – перпендикулярная ей прямая, β – плоскость, проходящая через прямую в , и с – прямая, по которой пересекаются плоскости α и β.

Следствие. Если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

Задача 1 . Доказать, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

Доказательство:

По аксиоме I существует точка, не принадлежащая прямой а. По теореме 2.1через точку В и прямую а можно провести плоскость α. (рис.29) По теореме 2.3 через точку А в плоскости α можно провести прямую а. По аксиоме С 1 существует точка С , не принадлежащая α. По теореме 15.1 через точку С и прямую а можно провести плоскость β. В плоскости β по теореме 2.3 через точку а можно провести прямую с а. Прямые в и с по построению имеют только одну общую точку А и обе перпендикулярны

Задача 2. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние3, 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого – 3,9 м. Найдите длину перекладины.

АС = 5,8м, ВD = 3,9 м, АВ - ? (рис.30)

АЕ = АС – СЕ = АС – ВD = 5,8 – 3,9 = 1,9 (м)

По теореме Пифагора из ∆ АЕВ получаем:

АВ 2 = АЕ 2 + ЕВ 2 = АЕ 2 + СD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (м 2)

АВ = = 3,9 (м)

Задачи

Цель . Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы .

1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

2. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если:

1) АВ = 3см, ВС = 7см, АD = 1,5 см;

2) ВД = 9 см, АD = 5cм, ВС = 16см;

3) АВ = в, ВС = а, АD =d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Точка А находится на расстоянии a от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

4. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

5. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, полагая, что проволока не провисает.

6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найти проекции наклонных.

7. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.

8. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1:2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.

9. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите

расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

10. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек а и В до плоскости равны: 1) 3, 2 см и 5, 3 см;7, 4 см и 6, 1 см; 3) a и в.

11. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

12. Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 0,5 м и 0, 3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость..

13. Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость. Найдите расстояние между точками А и В, если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.

14. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м; 3) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, ВС = в, СD = с.

15.Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если АВ = 2 м, СА 1 = 3 м, СВ 1 = 7 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника

16. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А 1 В 1 , если А 1 С = 4 м, АА 1 = 3 м, СВ 1 = 6 м, ВВ 1 = 2 м и отрезок А 1 В 1 не пересекает плоскость треугольника.

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому плоскость, перпендикулярную к заданной, можно провести через прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, или перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.

Изображенные на рис. 4.12 плоскости (плоскость треугольника АВС и плоскость Р) взаимно перпендикулярны, так как плоскость Р перпендикулярна к прямой А1, лежащей в плоскости треугольника. Проекции плоскости P, проходящей через прямую с проекциями m 2 n 2 , m 1 n 1 и перпендикулярной плоскости, заданной проекциями a 2 b 2 c 2 , a 1 b 1 c 1 треугольника, показано на рис. 4.12.

Построение: 1. Провести главные линии плоскости, С1 - горизонталь, С2 - фронталь.

2. Через произвольную точку Е (расположенную вне треугольника АВС) провести прямую EF перпендикулярно главным линиям плоскости (c 2 f 2 перпендикулярна c 2 2 2 и c 1 f 1 перепендикулярна с 1 1 1).

3. Через точку N провести произвольно прямую ЕМ, пересекающуюся с EF, получим плоскость Р заданную двумя пересекающимися прямыми(ЕМ Х EF).

Таким образом плоскость Р(МЕ Х EF) перепендикулярна плоскости Q(треугольник АВС).

Следует заметить, что у взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения их одноименные следы никогда не перпендикулярны. Но если одна из заданных плоскостей (или обе) является плоскостью общего положения, то взаимная перпендикулярность на эпюре одной пары их следов свидетельствует о перпендикулярности плоскостей в пространстве.

18)Прямую линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум их общим точкам. Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или точки пересечения прямой на каждой из плоскостей с другой плоскостью

Последовательность построения:

Линию пересечения двух плоскостей можно найти применяя при решении вспомогательные секущие плоскости. Обычно выбирают проецирующие плоскости (часто горизонтальные или фронтальные)

Выбирают произвольную секущую вспомогательную горизонтальную плоскость Ф1 она пересекает заданные плоскости по прямым линиям (12и34) которые (на п1 пересекаются в точке к)

Вторая секущая горизонтальная плоскость пересекает заданные плоскости так же по горизонталям они в свою очередь пересекаются в точке Е

Прямая КЕ является линией пересечения заданных плоскостей.

Рассмотрим решение этой задачи на плоском чертеже.

1-й этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость - посредник ("), в которую заключена сторона AB треугольника ABC.

2-й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскости-посредника (") и плоскости DEK.

3-й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB.

Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость  ("), в которую заключена сторона AC треугольника ABC.

Построения аналогичны предыдущим.

Определение видимости на плоскости H выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек 4 и 8

Точка 4 расположена над точкой 8 (4" и 8"), поэтому на плоскости H часть треугольника DEK, расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 8. С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 определена видимость на плоскости V.

Пересечение двух фронтально проецирующих плоскостей (?)

Пересечение двух горизонтально проецурующих плоскостей (?)

19)Разрезом называется изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими плоскостями, при этом мысленное рассечение предмета относиться только к данному разрезу и не влечет за собой изменение других изображений того же предмета. На разрезе показывают то, что расположено в секущей плоскости и то, что расположено за ней.

В зависимости от числа секущих плоскостей разрезу подразделяются на:

Простые (при одной секущей плоскости)

Сложные (при нескольких секущих плоскостях)

В зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекции разрезы разделяются на:

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ – секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекции

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ - секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции

НАКЛОНЫЕ – секущая плоскость некоторый непрямой угол с горизонтальной плоскостью =) ВЕРТИКАЛЬНЫЙ разрез называют фронтальным если секуща плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций. И профильным если секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.

СЛОЖНЫЕ разрезы бывают ПРОДОЛЬНЫМИ, если секущии плоскости направлены вдоль длинны или высоты предмета. И ПОПЕРЕЧНЫМИ ЕСЛИ секущие плоскости направлены ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО длинне или высоте предмета.

СТУПЕНЧАТЫМИ – если секущее плоскости параллельны между собой

ЛОМАНЫМИ – если секущие плоскости пересекаются между собой.

МЕСТНЫЕ разрезы служат для выявления внутреннего строения предмета в отдельном ограниченном месте. МЕСТНЫЙ РАЗРЕЗ выделяется на виде сплошной, волнистой, тонкой линией.

Обозначение разрезов – Положение секущей плоскости указывают разомкнутой линией сечения. Начальный и конечный штрихи линии сечения не должны пересекать контур соответствующего изображения. На начальном и конечном штрихе нужно ставить стрелки указывающие направление взгляда Стрелки должны наноситься на расстоянии 2…3 мм от внешнего конца штриха.

ПРИ СЛОЖНОМ РАЗРЕЗЕ штрихи разомкнутой линии сечения проводят так же у перегибов линии сечения.

ОКОЛО стрелок, указывающих направление взгляда, со внешней стороны угла наносят прописные буквы русского алфавита. Буквенные обозначения присваиваются в алфавитном порядке без повторений и без пропусков.

Сам разрез должен быть отмечен надписью по типу А-А

Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, а разрез выполнен на месте соответствующего вида в проекционной связи, то для горизонтальных, фронтальных и профильных разрезов отмечать положение секуще плоскости не нужно и разрез надписью не сопровождается.

Если контурная линия предмета совпадает с осью симметрии то границу между видом и разрезом указывают волнистой линией которую проводят так, чтобы сохранилось изображение ребра.

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.